Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos
En matemática, una función (f) es una relación entre
un conjunto dado X (llamado dominio) y otro
conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que
a cada elemento x del dominio le corresponde un
único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también
llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones
matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas,
tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el
costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los
números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general
es la letra f (de función). Entonces, f es
la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x
--------> x2
o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 =
9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16,
f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso
expresado en kilos
|
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
|
Ángela
|
55
|
|
Pedro
|
88
|
|
Manuel
|
62
|
|
Adrián
|
88
|
|
Roberto
|
90
|
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio)
constituye lo que se llama la entrada o variable
independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio)
constituye lo que se llama la salida o variable
dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos
distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el
mismo peso.
El dominio de una función está dado por el
conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) =
x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no
tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los
números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable
independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los
cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos
da un número Real.
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores
de x la función produce como resultado un número Real. Se
observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número
negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número
negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un
número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está
constituido por todos los números mayores o iguales que cero.
En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener
el dominio de una función o de una expresión algebraica:
·
No puede
haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de
un número imaginario que no hace parte de los Reales.
·
Un
fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda
indeterminada.
El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar
una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).
También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así
podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está
elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de
salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está
conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:
Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico,
debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que
el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la
parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba.
Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por
ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de
trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo
transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de
tasas de interés, etc.
Ahora los invito a ver el siguiente video que ayuda a complementar la
información sobre dominio y rango de las funciones:
No hay comentarios.:
Publicar un comentario